SEJARAH TEORI BILANGAN
OLEH
KELOMPOK I
1.
Aprilliana
|
(11010110006)
|
2.
Febrinna M. Saputri
|
(11010110026)
|
3.
Ingri Y. M. Lalan
|
(10010110012)
|
4.
John Hendry Tafui
|
(11010110038)
|
5.
Nurdini El Munawarah
|
(11010010063)
|
6.
Teranus Tabo
|
(11010110080)
|
PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN SURYA
TANGERANG
2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami
panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas pertolongan – Nya, kami
dapat menyelesaikan makalah “Sejarah Teori Bilangan” ini dengan baik. Makalah
ini disusun sebagai tugas akhir dari Ujian Tengah Semester Genap untuk mata
kuliah Sejarah Matematika.
Ucapan terima kasih
kami sampaikan kepada Dosen Sejarah Matematika, Bapak Bobbi Rahman, yang
telah membimbing kami selama penulisan makalah ini. Tak lupa juga kami
sampaikan terima kasih kepada teman-teman yang telah memberikan motivasi dan
saran selama penulisan makalah ini.
Kami sadar bahwa masih
banyak perbaikan-perbaikan yang harus kami penuhi. Oleh karena itu, saran dan
kritik yang membangun dari pembaca akan sangat membantu kami demi penyempurnaan
makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan dapat
dipergunakan sebagai salah satu rujukan dalam dunia pendidikan khususnya dalam matematika.
Tangerang, April
2013
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman Judul ........................................................................................................ i
Kata Pengantar ........... ii
Daftar Gambar ...................................................................................................... iv
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang .................................................................................................. 1
1.2 Rumusan Maslah ............................................................................................... 2
1.3 Tujuan ............................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ............................................................................................................. 2
BAB II TELAAH
PUSTAKA ............................................................................... ........... 4
2.1 Definisi Operasional 4
BAB III ISI ........... 6
3.1 Sejarah Teori Bilangan ...................................................................................... 6
3.1.1 Gambaran Sejarah Purbakala Matematika ............................................... 6
3.1.2 Awal Bilangan ......................................................................................... 6
3.2 Perkembangan Teori Bilangan .......................................................................... 8
3.2.1 Suku Babilonia ........................................................................................ 8
3.2.2 Suku Bangsa Mesir Kuno......................................................................... 8
3.2.3 Suku Bangsa India .................................................................................. 8
3.2.4 Masa Sejarah (Masehi) ............................................................................ 8
3.3 Tokoh Teori Bilangan ...................................................................................... 10
3.4 Aplikasi Teori Bilangan ................................................................................... 10
3.5 Tanya - Jawab (Terlampir)................................................................................ 11
BAB IV KESIMPULAN
DAN SARAN .............................................................. ........... 12
4.1 Kesimpulan ..................................................................................................... 12
4.2 Saran 12
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ ........... 13
Lampiran 1 (Tanya-Jawab) .................................................................................... 14
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Simbol bilangan bangsa Babilonia 4
Gambar 2. Simbol bilangan bangsa Maya ............................................................... 7
Gambar 3. Simbol bilangan bangsa Mesir Kuno ..................................................... 7
Gambar 4. Simbol bilangan bangsa Arab ................................................................ 7
Gambar 5. Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno .................................................. 7
Gambar 6. Simbol bilangan bangsa Romawi........................................................... 7
Gambar 7. Simbol bilangan bangsa Hindu-Arab Kuno........................................... 7
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Pembelajaran matematika sangat ditentukan oleh
pandangan seorang guru dan keyakinaannya terhadap matematika itu sendiri. Ketidaksempurnaan
memahami matematika dari seorang guru akan menyebabkan ketidaksempurnaan
pembelajaran di kelas. Peran penting matematika diakui oleh Cockroft (1986),
yang mengatakan “ It would be very
difficult – perhaps impossible – to live a normal life in very many parts in
the 20th century without making use of mathematics of some kind”.
Akan sangat sulit dan tidaklah mungkin bagi seseorang untuk hidup di bagian
bumi ini pada abad ke-20 ini tanpa sedikitpun memanfaatkan matematika.
Soedjadi (1999) mengemukakan bahwa matematika adalah
salah satu ilmu dasar, baik aspek terapannya maupun aspek penalarannya
mempunyai peranan yang penting dalam upaya penguasaan ilmu dan teknologi. Ini
berarti sampai batas tertentu, matematika perlu dikuasai oleh warga negara
Indonesia baik terapannya maupun pola pikirannya. Itulah alasan penting kenapa
matematika perlu diajarkan di setiap jenjang sekolah.
Perkembangan matematika hingga saat ini tentu saja mempunyai
sejarah yang perlu dikaji dan dipahami oleh setiap guru matematika sehingga
ilmunya dapat disalurkan kepada peserta didiknya. Pandangan dan pemahaman guru
yang baik tentang sejarah matematika akan menambah sikap antusias siswa dalam
pembelajaran. Siswa akan memiliki rasa percaya diri karena ia telah mengetahui
perkembangan sejarah matematika.
Salah satu bagian dalam sejarah matematika yaitu
sejarah teori bilangan. Perkembangan teori bilangan diprakarsai oleh tokoh-tokoh
teori bilangan yang telah berusaha menyumbangkan ide dalam mengungkap sejarah
dan perkembangan teori bilangan dari zaman ke zaman. Hingga saat ini, teori
bilangan banyak dipergunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalkan dalam ilmu
komputer. Namun, masih terdapat kekurangan dalam memahami sejarah dan
perkembangan teori bilangan hingga saat ini baik oleh siswa
maupun guru matematika. Guru bahkan secara langsung ataupun tidak langsung
mengesampingkan pengetahuan sejarah teori bilangan ini. Akibatnya pembelajaran
matematika hanya terfokus pada masalah perhitungan tanpa mengetahui asal mula ditemukan rumus
atau persamaan yang dipakai dalam perhitungan matematika.
Untuk itulah diperlukan pemahaman lebih lanjut
mengenai sejarah dan perkembangan teori bilangan. Dengan demikian, pemahaman
siswa terhadap matematika makin bertambah.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, maka adapun dirumuskan
masalah adalah sebagai berikut:
-
Apa itu teori
bilangan?
-
Bagaimana
sejarah dan perkembangan teori bilangan?
-
Siapakah tokoh
teori bilangan?
-
Apa contoh aplikasi
teori bilangan dalam kehidupan sehari-hari?
1.3
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.
-
Memahami
pengertian teori bilangan.
-
Memahami sejarah
dan perkembangan teori bilangan.
-
Mengetahui tokoh
teori bilangan yang telah banyak memberikan kontribusi dalam perkembangan teori
bilangan.
-
Menyebutkan
aplikasi teori bilangan dalam kehidupan sehari-hari.
1.4 Manfaat
Sejarah matematika
tentang konsep teori bilangan merupakan sumber strategi pembelajaran matematika
yang mempunyai manfaat untuk:
-
Understanding,
dengan mengikuti perkembangan suatu konsep matematika siswa akan lebih memahami
konsep tersebut.
-
Enthusiasm,
dapat meningkatkan motivasi, kesenangan, dan kepercayaan diri dalam belajar
matematika.
-
Skill,
dengan menelaah suatu tema dalam sejarah matematika, siswa diajak untuk melatih
keterampilan mereka dalam meneliti sesuatu.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Definisi Operasional
Teori bilangan
terdiri atas dua kata dasar, yaitu teori dan bilangan. Teori adalah serangkaian
bagian atau variabel, definisi, dan dalil yang saling berhubungan dan menghadirkan
sebuah pandangan sistematis mengenai fenomena dengan menentukan hubungan antar
variabel, dengan maksud menjelaskan fenomena alamiah. Kata teori memiliki arti
yang berbeda-beda pada bidang-bidang pengetahuan yang berbeda pula tergantung
kepada metodologi dan konteks diskusi. Dalam ilmu pengetahuan teori berarti
model atau kerangka pikiran yang menjelaskan fenomena alami atau fenomena
sosial tertentu.
Bilangan adalah
banyaknya benda dan sebagainya, jumlah, satuan jumlah, satuan dalam sistem
matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah, atau dikalikan (Daryanto,
1997). Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan
disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan
selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol,
asli, genap dan ganjil, bilangan positif-negatif, rasional, irasional, real,
dan kompleks. Tingkatan bilangan-bilangan ini dapat dilihat pada gambar 1 di
bawah ini.
Gambar 1. Tingkatan dalam Sistem Bilangan
Tingkatan dalam
bilangan/ jenis bilangan yang dikenal hingga saat ini pengertiannya adalah
sebagai berikut.
- Bilangan bulat (Z) adalah
bilangan yang terdiri dari bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Misal: . . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .
- Bilangan asli (N) adalah
bilangan bulat posotif yang dimulai dari angka satu (1) sampai tak hingga.
Misal: 1, 2, 3, . . .
- Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang
dimulai dari angka nol (0) sampai tak hingga. Misal: 0, 1, 2, 3, . . .
- Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki
dua faktor yaitu bilangan satu (1) dan bilangan itu sendiri. Misal: 2, 3, 5, 7,
dll. (bilangan satu bukan bilangan prima karena hanya mempunyai satu faktor
saja)
- Bilangan komposit adalah bilangan bukan nol (0),
bukan satu (1), dan bukan bilangan prima. Misal: 4, 6, 8, 10, dll.
- Bilangan rasional (Q)
adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam a/b, dimana a, b
Z. Misal: -2,
-1/2, 0, 1/2, 4, 10, dll.
- Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b. Misal:
dll.
- Bilangan riil (R) adalah
bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan irasional. Misal:
1,
, 3/2, dll.
- Bilangan imajiner (
) adalah bilangan
yang dinyatakan sebagai
a
R
- Bilangan komposit (C)
merupakan penggabungan dari bilangan riil dan imajiner.
Secara
tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang
mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka
yang mudah dipahami sekalipun oleh ahli
matematika. Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan
teknik dari area matematika lainnya. Hal ini mencakup pertanyaan tentang sifat
dapat dibagi, algoritma Euklidean, faktor persekutuan terbesar, bilangan prima,
penelitian bilangan sempurna, dan kongruensi.
BAB III
PEMBAHASAN
3.1
Sejarah Teori Bilangan
3.1.1
Gambaran Umum Sejarah Matematika
Pada mulanya di
zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim di sepanjang sungai-sungai
besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang
sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu
sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan
Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir,
mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai
menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu
pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukan bahwa
permulaan matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai
tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan, yang bisa dipakai sesuai
dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur
persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara
menilai kegiatan perdagangan, keuangan, dan pemungutan pajak. Untuk keperluan
praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
3.1.2
Awal Bilangan
Bilangan pada
awalnya digunakan untuk mengingat jumlah. Dalam perkembangannya, para pakar
matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefinisikan
bilangan sehingga matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan. Bilangan
selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia
musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan
dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya
kerikil, ranting, dan lain-lain. Masing-masing suku bangsa memiliki cara
tersendiri untuk menotasikan suatu bilangan seperti yang ditunjukan pada gambar-gambar
berikut ini.
a)
|
e) Simbol
bilangan bangsa Yunani Kuno
|
||
b) Simbol
bilangan bangsa Maya di Amerika (500 tahun SM)
|
f)
|
||
c) Simbol
bilangan bangsa Mesir Kuno menggunakan huruf Hieroglif
|
g) Simbol
bilangan bangsa Hindu-Arab Kuno
|
||
d)
|
3.2 Perkembangan Teori Bilangan
3.2.1 Suku Babilonia
Matematika
Babilonia diturunkan lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak
1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah,
dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari.
Sebagian besar
lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 – 1600 SM,
dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan
perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar.
Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan
linier dan kuadrat.
Matematika
Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis 60). Dari
sinilah diturunkan penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk
sejam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan
detik dan menit pada busur lingkaran yang
melambangkan pecahan derajat.
3.2.2 Suku Mesir Kuno
Tulisan
matematika Mesir yang paling panjang adalah lembaran Rhind (kadang-kadang
disebut juga “lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal
dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang
lebih tua dari kerajaan tengah yaitu dari tahun 2000 – 1800 SM. Lembaran ini
adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain itu,
naskah matematika Mesir penting lainnya
adalah lembaran Moskwa, juga dari dai zaman kerajaan pertengahan, berkisar
kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita yang
barangkali ditujukan sebagai hiburan.
3.2.3 Suku India
Sekitar tahun
800-500 SM, sulba sutra merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan
bilangan irasional, bilangan prima, dan aturan tiga akar kubik. Sekitar abad ke-5 SM,
dirumuskanlah aturan tata bahasa Sansekerta menggunakan notasi yang sama dengan
notasi matematika modern dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi dan
rekursi. Lalu, sekitar abad ke-3 sampai abad ke-1 SM, Pingala di dalam risalah
prosedurnya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.
Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada abad
sekitar 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap,
bersekawan, prima, segitiga, bujursangkar, segilima dan bilangan-bilangan segi n banyak yang lain. Salah satu sifat
bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang adalah triple pythagoras, yaitu
. Pada abad ke-4
SM Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan.
3.2.4 Masa Sejarah
(Masehi)
Awal kebangkitan
teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard
Euler (1707-1783), J.L. Lagrange (1736-1813), A. M. Legendre (1752-1833),
Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe
Peano (1858-1932), Poison (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai
seorang pangeran matematika Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan
kecantikan teori bilangan untuk melukiskannya ia menyebut teori bilangan
sebagai the queen of mathematics. Pada
masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai
bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan
konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer dan lain sebagainya.
3.3 Tokoh- Tokoh Sejarah Teori Bilangan
3.3.1 Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras
adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang dikenal sebagai “Bapak
Bilangan”. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal Teorema Pythagoras,
yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah
sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Meskipun
fakta ini telah ada sebelumnya lahirnya Pythagoras, namun karena Pythagoras
mampu membuktikannya secara matematis maka teorema ini akhirnya diakui sebagai
temuan dari Pythagoras.
3.3.2 Jamshid Al-Kashi (1380 M)
Al-Kashi
terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran
Tengah. Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno
selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh
Al-Kashi. Pecahan desimal ini memudahkan kita untuk menghitung aritmatika yang
dibahasnya dalam karyanya, Kunci Aritmatika, dan diterbitkan pada abad ke-15.
3.3.3 Abu Ali
Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
Al-Haytam lahir
di Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen.
Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna
yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumalh dari pembagi-pembagi
sejatinya, seperti yang berbentuk 2k – 1
(2k – 1), dimana (2k – 1) adalah
bilangan prima. Selanjutnya, Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalh bilangan prima, 1+ (p –
1)! Habis dibagi oleh p.
3.3.4 Pierre de Fermat
Fermat
membuktikan bahwa luas daerah siku-siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah
merupakan bilangan kuadrat. Fermat juga membuktikan kasus n bilangan prima ganjil.
3.4 Aplikasi
Teori Bilangan
Aplikasi
teori bilangan dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.
-
ISBN (International Book Serial Number)
Kode
ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokan dengan spasi atau garis.
Kode ini terdiri atas empat bagian kode, yaitu bagian:
1. Mengidentifikasi bahasa.
2. Mengidentifikasi penerbit.
3. Mengidentifikasi kode unik buku tersebut.
4. Karakter uji (angka atau huruf X(=10)).
Misal:
0-3015-4561-8.
0
=
kode kelompok negara berbahasa inggris
3015 =
kode penerbit
4561 = kode unik buku yang diterbitkan
8
= karakter uji
Karakter
uji ini didapat dari:
1
. 0 + 2 . 3 + 3 . 0 + 4 . 1 + 5 . 5 + 6 . 4 + 7 . 5 + 8 . 6 + 9 . 1 = 151
Karakter
uji = 151 mod 11 = 8
-
Fungsi Hash
Fungsi
hash adalah untuk pengalamatan di
memori dan juga me-locate elemen yang
dicari.
-
Kriptografi
Kriptografi
adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan yang dapat digunakan dalam
mengirim data melalui saluran komunikasi dan penyimpanan data di dalam disk storage.
3.5 Tanya –
Jawab (Terlampir)
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan
maka dapat disimpulkan bahwa teori bilangan adalah cabang dari matematika murni
yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, seperti sifat dapat dibagi,
algoritma Euklidean, faktor persekutuan terbesar, bilangan prima, dan beberapa
cakupan lainnya lagi.
Sejarah teori bilangan
sangat dibutuhkan sebagai salah satu sumber penanaman konsep dasar dan
asal-usul bilangan hingga tokoh-tokoh yang telah berjasa dalam menemukan
penemuan mereka yang berbungan dengan bilangan dan teori-teori bilangan.
Perkembangan teori bilangan ini berawal dari suku Babilonia, Mesir Kuno, India,
dan masa sejarah (Masehi). Sampai dengan saat ini teori bilangan sangat
diperlukan dalam kehidupan sehari-hari yaitu untuk kode ISBN (International Book Serial Number),
kriptografi, dan fungsi hash.
4.2 Saran
Sejarah dan
perkembangan teori bilangan ini sangat diperlukan dalam mempelajari matematika sehingga
disarankan agar tetap dikembangkan sikap understanding,
enthusiasm, dan skill. Dengan
demikian, cakupan pembelajarannya dapat diperdalam lagi.
DAFTAR PUSTAKA
Cockcroft, W.H (1986). Mathematics Counts. London: HMSO
Daryanto. (1997). Administrasi Pendidikan. Jakarta:
PT. Rineka Cipta
R. Soedjadi.1999. Kiat Pendidikan
Matematika di Indonesia (Konstatasi Keadaan Masa Kini Menuju Harapan Masa
Depan). Jakarta: Ditjen Dikti Depdikbud.
Lampiran 1
Tanya – Jawab
Berdasarkan hasil presentasi, adapun beberapa
pertanyaan yang telah dibahas adalah sebagai berikut.
1. Siapa saja tokoh teori bilangan?
2. Apakah teori bilangan zaman dahulu masih berkembang
saat ini?
3. Sebelum muncul angka nol, cara melambangkan bilangan
nol itu? Dari mana datangnya angka nol itu?
4. Nomor itu termasuk angka atau bilangan?
Hasil Pembahasan:
1. Tokoh Teori Bilangan:
a. Pierre de Fermat
b. Leonhard Euler
c. J. L. Lagrange
d. A. M. Legendre
e. Dirichlet.
2. Ya masih terus berkembang hingga sekarang.
3. Cara melambangkan bilangan nol adalah pada zaman
Babilonia (300 SM) menggunakan duah buah baji miring (//). Angka nol ditemukan
oleh Alkhawarismi dengan bentuk mirip lingkaran (0).
4. Nomor dipakai untuk mengurutkan sesuatu yang
mempunyai jumlah atau banyak benda atau sesuatu yang diurutkan.
0 komentar:
Posting Komentar