Proposisi 1-7 (Element)

Element Euclid

Pembuktian Proporsisi I - VII

Makalah

Diajukan untuk Memenuhi

Tugas Mata Kuliah Geometri

Oleh :

1.      Nurdini Elmunawarah (06022681721009)

2.      Febrinna Mona Saputri (06022681721010)

3.      Ismel Dwi Pratiwi (06022681721012)

Dosen Pengasuh :

Dr. Somakim, M.Pd

Dr. Eli Susanti, M.Pd

  

   

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2017

EUCLID’S ELEMENTS

Euclid’s elements  merupakan risalah yang terdiri dari 13 buku. Ini merupakan kumpulan definisi, postulat (aksioma), dalil (teorema dan konstruksi), dan bukti matematika dari dalil-dalil. Tiga belas buku mencangkup geometri Euclid (buku 1-6 dan 11-13) dan teori bilangan.(buku 7-10). Adapun definisi, postulat (aksioma), dan dalil (teorema dan konstruksi) yang terdapat dalam buku 1-6 adalah sebagai berikut:

Defenisi

Definisi adalah suatu deskripsi atau batasan dari suatu kesepakatan (Kamus; Cambridge) 

Def1 : Titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian (sesuatu yang punya posisitetapi tidak punya dimensi).

Def2 : Garis adalah sesuatu yang punya panjang tetapi tidak punya lebar.

Def3 : Ujung-ujung suatu garis adalah titik.

Def 4 :Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya.

Def5 : Bidang adalah sesuatu yang hanya mempunyai panjang dan lebar.

Def6 : Sisi-sisi dari bidang berupa garis.

Def7 : Bidang datar adalah bidang yang terletak secara rata dengan garis-garis lurus pada dirinya.

Def8 :Sudut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus.

Def9 :Dan ketika garis-garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebutrectilinear.

Def10 : Ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri.

Def11: Sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.

Def12 :Sudut lancip adalah sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku.

Def13 : Batas adalah sesuatu yang merupakan ujung dari apapun.

Def14 : Bagun adalah sesuatu yang dibentuk oleh batas atau batas-batas.

Def15 : Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang menjadi satu garis ( disebut keliling) sedemikian sehingga semua garis lurus yang mengarah ke arah (keliling) dari satu titik yang ada di dalam gambar adalah sama.

Def16 : Dan titik tersebut disebut pusat lingkaran.

Def17 : Diameter lingkaran adalah suatu garis lurus yang digambar melalui pusat lingkaran dan berakhir di dua arah keliling lingkaran.

Def18 : Setengah lingkaran adalah bangun yang dibangun oleh diameter dan keliling lingkaran yang dipotong oleh diameter.

Def19 : Bangun-bangun rectilinear adalah bangun-bangun yang dibentuk oleh garis lurus. Bangun segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga garis lurus,  bangun segiempat adalah bangun yang dibentuk oleh empat garis lurus, bangun segibanyak adalah bangun yang dibentuk oleh lebih dari empat garis lurus.

Def20 : Dari bangun segitiga, segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama, segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama, segitiga sembarang (segitiga tak sama panjang) adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak ada yang sama.

Def21 : Selanjutnya, pada bangun segitiga, segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku-siku, segitiga tumpul adalah segitiga yang memiliki sudut tumpul, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki sudut lancip

Def22 : Pada bangun segiempat, persegi adalah bangun yang semua sisinya memiliki panjang yang sama dan memiliki sudut siku-siku, persegi panjang adalah bangun yang memilik sudut siku-siku tetapi tidak memiliki dua pasang sisi yang panjangnya sama, belah ketupat adlah bangun yang semua panjang sisinya sama tetapi tidak memiliki sudut suku-siku.

Def23 : Garis-garis lurus sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang datar yang sama, dan jika diperpanjang secara terus menerus pada kedua arah tidak akan berpotongan di arah manapun.

Postulat

Postulat adalah suatu aturan dalam matematika yang diasumsikan benar tampa pembuktian,(math dictionary provided by a-zworksheets.com)

Post  1:Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus.

Post  2:Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus.

Post  3:Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran.

Post 4: Semua sudut siku-siku sama.

Post 5:Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.

Common Notions

CN1 : Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, satu dengan yang lainnya juga sama.

CN   2:Jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya   sama.

CN  3 :Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama.

CN  4 : Hal-hal yang berimpit satu sama lain, hal-hal tersebut sama.

CN 5 :Seluruh lebih besar dari pada sebagian.

Teorema

Teorema adalah pernyataan yang kebenaranya dibuktikan berdasar defenisi, postulat atau teorema yang telah dibuktikan terlebih dahulu (Dra. Susanah M.Pd ;Geometri; 2008).

Proposisi

Proposisi adalah  suatu pernyataan logis yang harus dibuktikan benar atau   salah (math dictionary provided by a-zworksheets.com).

Lemma

Lemma adalah proposisi yang berguna untuk pembuktian teorema lain(math dictionary provided by a-zworksheets.com).

  

Dalam makalah ini, yang akan dibahas adalah pembuktian proposisi 1 sampai 7 pada buku I. Sebagai berikut :

PROPOSISI 1

Jika diberikan garis lurus dengan panjang terbatas, maka dapat dibuat segitiga sama sisi

Membuat segitiga sama sisi pada garis lurus tertentu.

Diberikan garis AB adalah garis lurus tertentu.

Garis AB diperlukan untuk membuat segitiga sama sisi.

Dibuat lingkaran BCD dengan pusat di titik A dan jari-jari garis AB (post. 3)

Dibuat lingkaran ACE dengan titik pusat di titik B dan jari-jari BA (post. 3)

Tarik garis lurus dari titik C ke titik A dan titik B sehingga membentuk garis CA dan CB (post. 1)

Karena titik A merupakan titik pusat lingkaran CDB, maka garis AC = AB (Def. 1.15)

Karena titik B merupakan titik pusat lingkaran CAE, maka garis BC = BA (Def. 1.15)

CA = AB

CA dan CB = AB

CA = CB

CA = AB = BC (C.N.1)

Jadi, segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

PROPOSISI 2

Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang panjangnya sama dengan garis lurus yang diberikan.

Menunjukkan sebuah garis lurus sama dengan garis lurus yang diberikan pada titik tertentu.

Misalkan A adalah titik yang diberikan, dan tarik garis lurus BC.

Jadi, diperlukan garis lurus pada titik A yang sama dengan garis lurus BC.

Diberikan sebuah garis lurus AB yang ditarik dari titik A ke titik B. (Post. 1)

Dibuat sebuah segitiga DAB yang merupakan segitiga sama sisi diatas garis AB (Prop. 1.1)

Ditarik sebuah garis lurus AE dari garis DA dan ditarik sebuah garis lurus BF dari garis DB (Post. 3)

Karena titik B adalah titik pusat lingkaran CGH, maka BC = BG (Def. 1.15)

Karena titik D adalah pusat lingkaran GKL, maka DL = DG (Def. 1.15)

Dalam hal ini, DA = DB, jadi AL = BG (C.N.3)

Oleh karena itu, BC = BG.

AL = BC = BG. (C.N.1)

Jadi, AL merupakan garis lurus yang sama dengan garis lurus BC.

PROPOSISI 3

Jika diberikan dua garis lurus dengan panjang berbeda, maka garis lurus yang lebih panjang dapat dipotong sehingga panjangnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek.

Diberikan dua garis lurus yang berukuran tidak sama panjang, yang berpotongan dengan garis yang lebih besar dan garis yang lebih kecil.

Lihat AB dan C yang merupakan dua garis lurus yang berbeda ukuran, dimana AB lebih besar. Sehingga garis lurus AB dapat memotong C agar sama ukurannya.

Lihat AD , dimana ukurannya sama dengan garis lurus C dan A merupakan titik pusat. (post. 3)

Lihat lingkaran DEF dimana A merupakan titik pusat dan AD merupakan jari-jari lingkaran. (def. 1.15). Maka titik A merupakan titik pusat dari lingkaran DEF, AE yang sama ukurannya dengan AD dan juga C. (C.N.1)

AE dan C ukurannya sama dengan AD dan AE juga berukuran yang sama dengan C

Preposition 4

Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang panjangnya sama dan sudut-sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya juga sama, maka panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya juga sama.

Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang sama besar, dan memiliki sudut yang sama, dan juga memili sisi dasar yang sama.

Lihat ABC dan DEF, kedua segitiga tersebut memiliki sisi AB dan AC dimana kedua nya sama dengan DE dan DF. AB dan DE, sama panjang dengan AC dan DF. Segitiga BAC kongruen dengan segitiga EDF. Sisi dasar segitiga BC sama dengan EF (C.N.4). Maka, dapat dikatakan segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF. (C.N.4)

Segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF dimana titik A sama dengan titik D, garis lurus AB dan DE, dimana titik B juga sama dengan titik E. Jadi AB bertepatan dengan DE, garis lurus AC akan bertepatan pula dengan DF, sehingga segitiga BAC kongruen dengan EDF.

Jadi dapat dikatakan jika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang sama dan masing-masing memiliki sudut yang sama dan sisi dasar yang sama, maka dapat dikatakan segitiga tersebut kongruen.

PROPORSISI 5

Dalam suatu segitiga sama kaki, sudut-sudut alasnya sama besar, dan jika kedua sisi yang sama panjang itu diperpanjang, maka sudut-sudut di bawah alas akan sama satu dengan lainnya.

Misalkan ABC adalah segitiga sama kaki yang mana panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, dan garis lurus BD dan CE merupakan perpanjangan dari garis lurus dengan AB dan AC (masing-masing). [Pos 2]. Dapat dikatakan bahwa semua sudut pada segitiga ABC sama dengan semua sudut pada segitiga ACB, dan ( semua sudut) CBD sama dengan BCE.

Buat titik F secara acak pada BD, dan di dapatkan juga garis AG (AE lebih besar dari AG)yang sama panjangnya dengan garis AF [Prop. 1.3]. Kemudian tarik garis lurus dari titik F ke C, dan tarik garis lurus dari titik G ke B.[Pos. 1].

Karena AF sama dengan AG, dan AB sama dengan AC, dua (garis lurus) FA, AC masing-masing sama dengan dua (garis lurus) GA, AB. Dan membentuk sudut FAG. Dengan demikian, sisi alas FC sama dengan sisi alas GB, dan segitiga AFC akan kongruen dengan segitiga AGB, maka besar sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama. [Prop. 1.4]. (Artinya) ACF ke ABG, dan AFC ke AGB. Dan karena AF sama dengan AG, di mana AB sama dengan AC, maka BF sama dengan CG [C.N. 3]. Tapi FC juga ditunjukkan (sama) dengan GB. Jadi dua (garis lurus) BF, FC sama dengan dua (garis lurus) CG, GB, masing-masing, dan sudut BFC sama dengan sudut CGB.

Dengan demikian, segitiga BFC kongruen dengan segitiga CGB, dan besar sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama. [Prop. 1.4]. Dengan demikian, FBC sama dengan GCB, dan BCF menjadi CBG. Oleh karena itu, karena semua sudut ABG ditunjukkan (sebanding dengan semua sudut ACF, di mana CBG sama dengan BCF, maka ABC sama dengan ACB [C.N. 3].

Jadi, untuk segitiga sama kaki, sudut-sudut alasnya sama besar, dan jika kedua sisi yang sama panjang itu diperpanjang, maka sudut-sudut di bawah alas akan sama satu dengan lainnya.

PROPORSISI 6

Jika dalam suatu segitiga, dua sudutnya sama, maka sisi-sisi di hadapan kedua sudut tadi juga sama

Misalkan ABC adalah segitiga yang memiliki sudut ABC sama dengan sudut ACB.

 Jika AB tidak sama dengan AC maka salah satunya lebih besar.

Misalkan AB lebih besar dari AC.

Maka dapat dibuat garis DB (dari AB) yang sama panjangnya dengan garis AC. [Prop. 1.3]

Kemudian buat garis DC dari titik C ke titik D. [Pos 1]

Karena DB sama AC, maka untuk kedua sisi DB dan BC akan sama dengan sisi AC dan CB.

Sudut DBC sama dengan sudut ACB. Dengan demikian, sisi alas DC sama dengan sisi alas AB, sehingga segitiga DBC kongruen dengan segitiga ACB [Prop. 1.4],

Karena segita DBC kongruen dengan segitiga ACB, maka sisi yang bersesuaian sama, tetapi asumsi awal kita tadi AB tidak sama dengan AC. Bertentangan dengan [C.N. 5]. Jadi, AB sama dengan AC.

Jadi, dapat ditarik kesimpulan bahwa Jika dalam suatu segitiga, dua sudutnya sama, maka sisi-sisi di hadapan kedua sudut tadi juga sama.

PROPORSISI 7

Diketahui dua ruas garis yang dikonstruksikan dari titik-titik ujung dari suatu ruas garis dan bertemu di satu titik, maka tidak dapat dikonstruksikan dari titik-titik ujung ruas garis semula, dan pada sisi yang sama dari ruas garis itu, dua ruas garis lain yang bertemu pada suatu titik dan berturut-turut sama dengan kedua ruas garis semula, yaitu masing-masing sama dengan yang ditarik dari titik ujung yang sama

Diberikan dua garis lurus AC, CB, sama dengan dua garis lurus lainnya yaitu,AD dan DB. Ke empat garis tersebut dikonstruktruk dari garis AB dan bertemu pada titik yang berbeda, yaitu titik C dan D, serta pada sisi yang sama (dari AB), dan memiliki ujung yang sama (pada AB). Jadi CA sama dengan DA, yang bertemu dititik A, dan CB sama dengan DB, yang bertemu dititik B. Dan kemuian ditarik garis CD [Post. 1].

Oleh karena itu, karena AC sama dengan AD, sudut ACD juga sama dengan sudut ADC [Prop. 5]. Jadi, ADC lebih besar dari DCB [C.N. 5].Dengan demikian, CDB jauh lebih besar dari DCB [C.N. 5]. Sama halnya untuk CB sama dengan DB, maka sudut CDB juga sama dengan sudut DCB [Prop 1.5]. Tapi itu menunjukkan bahwa sudut sebelumnya juga jauh lebih besar (dari yang terakhir).Hal yang sangat mustahil.

Dengan demikian, jika diketahui dua ruas garis yang dikonstruksikan dari titik-titik ujung dari suatu ruas garis dan bertemu di satu titik, maka tidak dapat dikonstruksikan dari titik-titik ujung ruas garis semula, dan pada sisi yang sama dari ruas garis itu, dua ruas garis lain yang bertemu pada suatu titik dan berturut-turut sama dengan kedua ruas garis semula, yaitu masing-masing sama dengan yang ditarik dari titik ujung yang sama.